Predikcia časových radov¶

Najprv si nainštalujeme balík dynlm a načítame si dátovú množinu USMacroG, ktorá obsahuje viacero časových radov makroekonomických ukazovateľov USA.

In [ ]:

install.packages("dynlm")

In [ ]:

install.packages("AER", repos='http://cran.us.r-project.org')  # after restart kernel

In [ ]:

library("dynlm")

In [ ]:

data("USMacroG", package="AER")

In [ ]:

summary(USMacroG)

Zobrazíme si v jednom grafe priebehy príjmov dpi a spotreby consumption:

In [ ]:

ts.plot(USMacroG[, c("dpi", "consumption")], lty=c(3,1))

Aby sme zistili či je vhodné modelovať časový rad lineárnym modelom, môžeme si vypočítať autokorelačné koeficienty, tzn. koreláciu medzi hodnotami $y_t$ a $y_{t-1}$, $y_t$ a $y_{t-2}$ atď. Pre výpočet a zobrazenie môžeme použiť funkciu acf, napr. zobrazíme autokorelačné koeficienty pre časový rad dpi s maximálnym oneskorením 4:

In [ ]:

dpi = USMacroG[,"dpi"]
autocorr = acf(dpi, lag.max=4)

Môžeme si zobraziť aj závislosť medzi $y$ a $y_{t-k}$ kde k je oneskorenie, napr. ak si chceme zobraziť závislosť medzi $y_t$ a $y_{t-1}$, najprv si prevedieme časovú postupnosť na vektor funkciou as.numeric a potom si vyberieme prvky od [1:N-1] a [2:N] kde N je dĺžka vektora (počet hodnôt v časovom rade):

In [ ]:

dpi = as.numeric(dpi)
plot(dpi[1:length(dpi)-1], dpi[2:length(dpi)])
cor(dpi[1:length(dpi)-1], dpi[2:length(dpi)])

Ak porovnáme hodnotu korelácie z posledného výpisu s výstupom autokorelačnej funkcie acf pre oneskorenie 1 (autocorr[1]) zistíme, že sa odlišujú pričom by malo ísť o koreláciu medzi rovnakými hodnotami. Rozdiel je spôsobený odlišnou normalizáciou pri výpočte korelačného koeficientu, acf hodnota je normovaná 1/N a cor 1/(N-1).

Vytvoríme model ktorý bude predikovať spotrebu v čase t na základe aktuálnej hodnoty príjmov dpi a predchádzajúcej spotreby v čase t-1:

In [ ]:

cons_lm1 <- dynlm(consumption ~ dpi + L(consumption), data=USMacroG)

Výsledný objekt je podobného typu ako pri lineárnej regresii, tzn. funkcia summary napr. zobrazí hodnoty vypočítaných koeficientov a ich významnosť pre predikciu a základné štatistiky o rezíduách. Podobne môžete vypočítať kvadratickú chybu na trénovacích dátach funkciou deviance.

In [ ]:

summary(cons_lm1)

In [ ]:

deviance(cons_lm1)

Predikované hodnoty pre celý časový rad si môžeme vypočítať funkciou fitted:

In [ ]:

fitted(cons_lm1)

Aby sme vyhodnotili presnosť a kvalitu modelu, môžeme si zobraziť časový priebeh a predikované hodnoty v jednom grafe. Tak isto je užitočné si zobraziť v čase aj hodnoty rezíduí, ktoré sa dajú vypočítať funkciou residuals:

In [ ]:

ts.plot(USMacroG[,"consumption"], fitted(cons_lm1),
lty=c(1:2))
ts.plot(residuals(cons_lm1))

Úlohy na cvičení¶

Načítajte dáta USMacroG. Pre časový rad consumption vypočítajte a zobrazte

pomocou funkcie acf autokorelačné koeficienty až do oneskorenia 10.

In [ ]:

Pre časový rad consumption si vytvorte dátovú množinu zloženú z oneskorených

atribútoch v čase t, t-1, t-2, t-3, t-4 a t-5. Pomocou funkcie cor vypočítajte korelačnú maticu pre všetky atribúty. Zistite s ktorým atribútom je najviac korelovaný atribút t-2, t-3 a t-4, a zobrazte závislosti medzi t-2, t-3 a t-4 a najviac korelovanými atribútmi.

In [ ]:

Pomocou funkcie cor vypočítajte korelačný koeficient medzi hodnotami časového

radu consumtion a všetkými ostatnými ukazovateľmi v dátovej množine USMacroG. Vyberte dva ukazovatele, ktoré sú s consumption najviac korelované. Vytvorte prediktívny model, ktorý predikuje $consumption_t$ na základe týchto dvoch atribútov oneskorených o t-1.

In [ ]:

Zobrazte priebeh radu consumption a predikcie modelu z predchádzajúceho príkladu.

Vypočítajte rezíduá a zobrazte priebeh rezíduí.

In [ ]:

Vytvorte autokorelačné prediktívne modely

$consumption_t = \beta_0 + \beta_1 dpi_t + \beta_2 dpi_{t-1}$

a

$consumption_t = \beta_0 + \beta_1 dpi_t + \beta_2 dpi_{t-1} + \beta_3 consumption_{t-1}$

a

$consumption_t = \beta_{0} + \beta_1 dpi_t + \beta_2 consumption_{t-1}$.

Na jednom grafe zobrazte priebeh časového radu consumption a predikcie všetkých troch modelov.

In [ ]:

Vyhodnoťte presnosť modelov pomocou funkcie deviance. Zistite, ktorý model je

najlepší a zistite, ktorý vstupný atribút je najdôležitejší pre tento model. Zobrazte X-Y závislosť medzi consumption a najdôležitejším atribútom.

In [ ]:

Zobrazte časový priebeh rezíduí a histogram rezíduí pre model $consumption_t = \beta_0 +

\beta_1 dpi_t + \beta_2 dpi_{t-1} + \beta_3 consumption_{t-1}.$

In [ ]:

Načítajte dáta AirPassengers. Pomocou funkcie acf zobrazte autokorelačný graf. Všimnite si ako sa mení hodnota autokorelačných koeficientov pri časových radoch s cyklickou zložkou. Vytvorte autoregresný model

$y_t = \beta_0 + \beta_1(y_{t−1} − y_{t−2}) + \beta_2 y_{t−4}$.

Dekomponujte časový priebeh AirPassengers na aditívne zložky pomocou funkcie dec = decompose(AirPassengers). Vyberte z priebehu iba zložku trendu dec$trend a vytvorte autoregresný model

$y_t = \beta_0 + \beta_1(y_{t−1} − y_{t−2}) + \beta_2 y_{t−4} $

pre časový priebeh trendu. Vypočítajte predikciu modelu funkciou fitted a pripočítajte k nej sezónnu zložku dec$seasonal. Výsledný časový rad zobrazte v jednom grafe spolu s priebehom AirPassengers a predikciou predchádzajúceho modelu

In [ ]: