Cvičenie 2 - Časové rady¶
Časové rady sú dátové množiny pri ktorých sú jednotlivé hodnoty usporiadané sekvenčne
v čase. Sú definované počiatočným a koncovým časom (napr. dáta od roku 2016 do 2017)
a frekvenciou vzorkovania (napr. s frekvenciou 12 pre mesačné dáta). V prostredí R sa
používajú na reprezentáciu časových radov objekty typu ts, ktoré môžete priamo načítať ako
dátovú množinu.
Množina AirPassengers udáva nárast cestujúcich v leteckej dobre v USA a obsahuje hodnoty
od januára 1949 (1949,1) do decembra 1960 (1960,12). Vzorkovacia frekvencia je 12 hodnôt
na rok (tzv. mesačné dáta).
Funkcia summary(ts) zobrazuje len základné charakteristiky číselný hodnôt,
ktoré tvoria časový rad. Počiatočný a koncový čas a frekvenciu vzorkovania môžete vypísať
funkciami start(ts), end(ts) a frequency(ts):
data("AirPassengers")
ap = AirPassengers
summary(ap)
start(ap)
end(ap)
frequency(ap)
Časové rady si môžete priamo vykresliť pomocou funkcie plot:
plot(ap, type="o")
Pomocou funkcie window je možné vybrať podmnožinu časového radu resp. zmeniť
vzorkovaciu frekvenciu, napr. ak chceme vybrať hodnoty iba za rok 1950 (od januára do
decembra) môžeme zadať:
window(ap, start=c(1950,1), end=c(1950,12))
Použitie funkcií nad dátami¶
Dáta za jednotlivé roky (hlavné časové jednotky) je možné agregovať pomocou funkcie
aggregate, napr. priemerné hodnoty za rok je možné vypočítať ako:
print(aggregate(ap, FUN=mean))
Dáta je možné agregovať aj s inou frekvenciou, napr. sumu za pol roka (1/2 hlavnej jednotky) a za štvrť rok (1/4 hlavnej jednotky) môžete vypočítať ako:
aggregate(ap, FUN=sum, nfrequency=2)
aggregate(ap, FUN=sum, nfrequency=4)
Všetky hodnoty je možné agregovať priamo, napr. priemer môžeme určiť funkciou mean:
mean(ap)
Možnosti vytvorenia časových radov¶
- Objekt časového radu je možné vytvoriť aj z vektora číselných hodnôt. Napr. pre priebeh
funkcie 0.25sin(10x) + 0.5x + 1 na intervale 0 az 5 s krokom 0.1:
x = seq(from=0, to=5, by=0.1)
y = 0.25*sin(10*x) + 0.5*x + 1
Objekt vytvoríme funkciou ts, kde nastavíme počiatočný čas a frekvenciu vzorkovania, napr.:
t = ts(y, start=c(2017,1), frequency=12)
plot(t)
- Pomocou funkcie ts môžeme vytvoriť časový rad aj z tabuľkových dát. Dáta môžeme stiahnuť
priamo z internetu, napr. nasledujúci súbor Maine.dat udáva mesačnú mieru nezamestnanosti v štáte Maine za obdobie 1996 do 2006:
data = read.table("data/Maine.dat", header=TRUE)
data
maine = ts(data, start=c(1996,1), frequency=12)
maine
Základné charakteristiky časových radov ¶
plot(ap)
Z priebehu dát AirPassengers vidno, že sa počet pasažierov postupne systematicky zvyšuje,
tzn. dáta majú rastúci trend. Okrem trendu vidno cyklické zmeny, ktoré sa periodicky opakujú
– ide o tzv. sezónnosť. Časové rady môžeme modelovať rôznou kombináciou trendu t,
sezónnosti s a náhodnej zložky z. Najjednoduchším modelom je aditívny model, kde sa
hodnoty radu rovnajú súčtu zložiek: x = t + s + z. Medzi ďalšie modely patrí napr.
multiplikatívny model: x = t.s.z.
Najjednoduchší spôsob extrahovania trendu je pomocou centrovaného kĺzavého priemeru
v okolí každej hodnoty xt, ktorý je možné vypočítať pomocou funkcie filter. Centrovaný
kĺzavý priemer je vážený priemer, kde prvá a posledná hodnota má váhu 1/2, tzn. napr. pre 12
mesiacov sú váhy (0.5,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0.5)/12:
ap.t = filter(ap, c(0.5,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0.5)/12)
plot(ap.t)
Pre aditívny model je možné zvyšné zložky extrahovať odpočítaním od pôvodného radu:
ap.sz = ap - ap.t
plot(ap.sz)
Z priebehu vidno, že sa cyklické zložky postupne zvyšujú, čo môže indikovať, že je pre tieto
dáta vhodnejší multiplikatívny model. Všetky zložky časového radu pre rôzne typy modelov
je možné vypočítať pomocou funkcie decompose, napr. pre multiplikatívny model:
ap.decomp = decompose(ap, type="multiplicative")
plot(ap.decomp)
Jednotlivé zložky modelu sú dostupné vo vlastnostiach seasonal, trend a random. Napr.
nasledujúci príkaz vypočíta základné štatistiky pre sezónnu zložku:
summary(ap.decomp$seasonal)
Úlohy¶
1. Načítajte dáta Maine a vytvorte časový rad pre
mesačné dáta od januára 1996. Vykreslite priebeh. Vypočítajte priemernú hodnotu pre
prvé tri a posledné tri mesiace v roku 1996. Zistite o koľko % sa tieto priemery
odlišujú od priemeru počas celého roku 1996.
2. Pre dátovú množinu Maine vypočítajte agregovaný časový rad pre priemerné
štvrťročné hodnoty a zobrazte jeho priebeh.
3. Načítajte dáta cbe. Dáta obsahujú dátovú
množinu so stĺpcami určujúcimi mesačnú produkciu čokolády (stĺpec 1), piva (stĺpec 2)
a elektrickej energie (stĺpec 3) od roku 1958. Načítajte dáta ako časové rady (pre výber
stĺpca môžete použiť zápis CBE[,1], CBE[,2], CBE[,3). Zobrazte všetky tri časové
rady v jednom grafe pomocou funkcie plot a cbind.
4. Vypočítajte koreláciu medzi produkciou čokolády a piva.
5. Na dátovej množine AirPassengers postupne aplikujte kĺzavý priemer s šírkou 4
mesiace, 6 mesiacov a 12 mesiacov (tzn. váhy pre 4 mesiace budú (0.5,1,1,0.5)/4).
Vyextrahujte trendovú zložku pre každý filter podľa aditívneho modelu a zobrazte jej
priebeh.
6. Pomocou funkcie decompose vygenerujte a zobrazte zložky pre aditívny
a multiplikatívny model pre dátovú množinu AirPassangers
7. Na intervale [0,5] s krokom 0.1 vygenerujte priebeh funkcií y = 0.5x + 1 a z = 0.25sin(10x). Vygenerujte rovnako veľký náhodný vektor n podľa normálneho
rozdelenia s 0 strednou hodnotou a štandardnou odchýlkou 0.5. Vykreslite priebehy
funkcií na jednom zloženom grafe pomocou funkcie plot a cbind.
8. Zo zložiek s predchádzajúceho príkladu vytvorte časový rad s aditívnym modelom y + z + n, a multiplikatívnym modelom y.z.n.
9. Dekomponujte časové rady z predchádzajúceho priebehu pomocou funkcie
decompose. Vytvorte pre oba priebehy obe dekompozície aj pre aditívny aj
multiplikatívny model.
10. Nahraďte lineárny trend logaritmickým y = log(x + 1), vytvorte aditívny
a multiplikatívny časový rad a dekomponujte ich zložky